NUZUL FITRIA SUYANA
1PA11
TUGAS SOFTSKILL MATEMATIKA DAN ILMU ALAMIAH DASAR
Definisi Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda atau
objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan
dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota
himpunan.
Perhatikan objek yang berada di sekeliling
kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk
buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A,
sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet
dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
Jika kita amati semua objek yang berada
disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan
jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan.
Himpunan makanan yang lezat, himpunan
gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang
tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan
indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi
seseorang atau sekelompok orang belum tentu lezat bagi orang lain
atau sekelompok orang lainya.
Demikian juga indahnya sekuntum bunga
bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah
mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang.
Benda atau objek yang termasuk dalam
himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya
penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan
anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.
Jenis-jenis Himpunan
1. Himpunan Kosong
Definisi
: Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen
atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.
2. Himpunan Bagian
Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan
bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan
elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
3. Himpunan sama
Definisi : Himpunan A dikatakan sama
dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama.
Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B
adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak
sama dengan B.
Notasi : A =
B <==> A ⊆ B dan B ⊆ A
Tiga hal yang perlu di catat dalam
memeriksa kesamaan dua buah himpunan :
1.Urutan elemen di dalam himpunan
tidak penting.
Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}
2.Pengulangan elemen tidak mempengaruhi
kesamaan dua buah himpunan.
Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1}
3.Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C
berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B dan C = C
(b) Jika A = B, maka B = A
(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C
11.HIMPUNAN
Konsep himpunan adalah suatu konsap
mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. Secara intuitif, sebuah himpunan
dalah setiap daftar, kumpulan atau kelas objek-objek yang di definisikan secara
jelas. Terdefinisi secara jelas artinya dpat dibedakan yang merupakan anggot
dan yang bukan.
Contoh:
Himpunan bilangan prima kurang dari 7, A
{2, 3, 5} ,dengan demikian, 2 anggota dari A,tetapi 4 bukan anggota dari A.
Ada beberapa cara dalam penyajian
himpunan, sebagai berikut:
1. Dengan
kata-kata
2. Dengan
mendaftar anggotanya
3. Dengan
simbol-simbol.
12. NOTASI HIMPUNAN
Himpunan-himpunan dinyatakan dengan
huruf besar,
A, B, X, Y, . . . .
Elemen-elemen dri suatu himpunan selalu
dinyatakan dengan huruf kecil,
a, b, x, y, . . .
bila kita mendefinisikan suatu himpunan
tertentu dengan menyatakan secara jelas anggota-anggotanya, misalnya, A terdiri
atas bilangan-bilangan 1, 3,7,10, maka kita menulis
A={1,3,7,10}
Yaitu, elemen-elemen dipisahkan oleh
koma-koma dan ditutup dalam tanda kurung {} kita menyebut bentuk ini bentukpendaftaran (tabularform)
dari himpunan. Tetapi bila kita mendefinisikan suatu himpunan tertentu dengan
menyatakan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh elemen-elemennya, misalnya B
adalah himpunan dari semuabilangan-bilangan genap dapat di tulis;
B={x | x genap}
Jika suatu objek x adalah elemen dari A,
dapat ditulis x ∑ A
13. HIMPUNAN-HIMPUNAN
BERHINGGA DAN TAK BERHINGGA
Secara Intuitif,
sebuah himpunan adalah berhingga bila ia terdiri atas sejumlah tertentu
elemen-elemen yang berbeda, artinya, bila kita menghitung elemen-elemen yang
berbeda dari himpunan ini, maka proses penghitungan ini
dapat berakhir.Bila tidak demikian, maka himpunanya adalah tak
berhingga.
Contoh 1 : M adalah himpunan
hari-hari dalam seminggu.Maka M berhingga.
Contoh 2 : N= {2,4,6,8, . . . } Maka N
tak berhingga.
14. PERSAMAAN
HIMPUNAN-HIMPUNAN
Himpunan A sama dengan himpunan B, jika
keduanya bersama-sama memiliki anggota-anggota yang sama, artinya, jika setiap
elemen yang termasuk A juga termasuk B dan jika setiap elemen B termasuk A,
dapat ditulis:
A=B
Contoh:
Misalkan A={1,2,3,4}, B{2,3,4,1}.
Sebuah himpunan tidak berubah bila
elemen-elemennya disusun kembali.
15. HIMPUNAN KOSONG
Himpunan kosong atau disebut juga
himpunan nol adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, dapat disimbolkan
dengan (ø).
Contoh :
Misalkan A adalah himpunan nama hari
yang dimulai dengan huruf Z. Maka A adalah himpunan kosong.
16. SUBHIMPUNAN
Jika semua elemen dari A adalah juga
himpunan B maka A disebut subhimpunan dari B atau lebih khusus lagi, A adalah
subhimpunan B berarti x ∑ A maka x ∑ B, maka
hubungan ini dapat dituliskan:
A ⊂ B
Contoh :
Himpunan C= {1,3,5} adalah
subhimpunan dari D= {5,4,3,2,1} krena tiap-tiap bilangan 1,3,5 yang termasuk C
juga retmasuk D
Jika A subhimpunan dari B dapat di tulis
:
B ⊃ A
Baca : B adalaah subhimpunan dari A.
A ⊄ B atau
B ⊅ A
Pernyataan
1:
Jika
himpunan kosong {} dipandang sebagai subhimpunan dari setiap himpunan.
Pernyataan
2:
Jika A bukanlah subhimpunan B yaitu jika
A⊄ B maka sekurang-kurangnya satu
elemen A yang bukan anggota B.
17. SUB HIMPUNAN SEJATI
Karena setiap himpunan A adalah
subhimpunan dari dirinya sendiri, maka kita menyebut B su bhimpunan sejati
dari A dengan syarat :
B⊂ A dan B ≠ A
18. HAL DAPAT DIPERBANDINGKAN
Dua himpunan A dan B dikatakan dapat
diperbandingkan (comparable) jika
A ⊂ B Atau B ⊂ A
Dan dua himpunan tidak dapat di
perhitungkan jika:
A ⊄ B dan B ⊄ A
Contoh1:
A={a,b}
dan B{a,b,c} maka A dan B dapat diperbandingkan.
Contoh
2:
A={a,b}
dan B= {b,c,d} maka A dan B tidak dapat diperbandingkan.
19. TEOREMA DAN BUKTI
Matematika terdiri atas teorema-teorema
dan pembuktian-pembbuktiannya.
Teorema 1:
Jika A ⊂ B dan B ⊂ C maka berarti A ⊂ C
Bukti
:
Perhatikan bahwa setiap elemen A adalah
elemen C. Misal x ∑ A . Karena A adalah subhimpunan B, maka
x ∑ B . Tetapi menurut hipotesis, B ⊂ C Oleh karena itu setiap elemen B
termasuk x, adalah juga anggota C.
110. HIMPUNAN
DARI HIMPUNAN-HIMPUNAN
Himpunan dari himpunan-himounan di
sebut juga keluarga himpunan.
Contoh:
Himpunan {{2,3}{2}{5,6}} adalah
himpunan-himpunan. Anggota-anggotanya adalah {2,3}{2}{5,6}
111. HIMPUNAN
SEMESTA
Himpunan semesta atau semesta dari
uraian (universe of discourse) di simbolkan dengan “U”.
Contoh:
Dalam studi kependudukan, himpunan
semesta terdiri atas semua orang di dunia.
112. HIMPUNAN
KUASA
Keluarga dari setiap
himpunan dari himpunan S dikatakan himpunan kuasa dari S.Kita nyatakan himpunan
kuasa dari S dengan 2s .
Contoh:
Misalkan M= {a,b} maka
2m = {{a,b}{a}{b}{}}
113. HIMPUNAN-HIMPUNAN
TERPISAH
Jika himpunan-himpunan A dan B tidak
mempunyai elemen-elemen yang dimiliki bersama, maka dapat dikatakan bahwa A dan
B terpisah.
Contoh1 :
Misalkan A={1,3,7,8} dan B={2,4,7,9}.
Maka A dan B tidaklah terpisah karena 7 terdapat dalam kedua himpunan.
Contoh 2:
Misalkan E ={x,y,z} dan F {r,s,t} .maka
E dan F terpisah.
Contoh Soal 1
Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa. Mereka memilih
dua jenis olahraga yang mereka gemari. Ternyata 29 siswa gemar bermain basket,
27 siswa gemar bermain voli, dan 6 siswa tidak menggemari kedua olahraga
tersebut. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut
dan tentukan banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli.
Penyelesaiannya:
Gambar diagram Venn dari keterangan tersebut dapat
diperoleh jika banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli diketahui,
maka cari terlebih dahulu banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli:
n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})
n{AΛB} = (29 + 27) – (48 – 6)
n{AΛB} = 14
Siswa yang memilih basket saja = 29 - 14 = 15 orang
Siswa yang memilih voli saja = 27 - 14 = 13 orang
Gambar diagram Venn dari keterangan tersebut adalah
Banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar